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1<!doctype html>
2<html lang="es">
3<head>
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6 <title>Los 17 grupos de simetría o grupos cristalográficos</title>
7<meta name="viewport" content="width=device-width; initial-scale=1" >
8<meta name="keywords" content="Geogebra, Mosaicos, Isometr&iacute;as del plano, Celos&iacute;as, frisos, mosaicos regulares, mosaicos semirregulares, mosaicos regulares, mosaicos unformes, mosaicos duales, mosaicos radiales, mosaicos espirales, mosaicos por deformaci&oacute;n, variando tama&ntilde;os, uniendo o partiendo baldosas, dejando huecos, por expansi&oacute;n, por ampliaci&oacute;n, modifiacando esquinas, mosaicos aperi&oacute;dicos, Kali,Reptiles, Irreptiles">
9 <meta name="Description" content="Los 17 grupos de simetría o grupos cristalográficos">
10 <meta name="robots" content="index, follow" >
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vendor: 1 bytes, line 15
15
16<script type="text/javascript">
17
18    // Create applet for material_id 17499 from GeoGebra Materials Platform. The second parameter forces not to use webSimple.
19    // The third parameter sets the bordercolor. Additional parameters can be defined as described here: https://www.geogebra.org/manual/en/Reference:Applet_Parameters
20    var giros = new GGBApplet({filename: "../geogebra/giro.ggb"}, true);
21	var trasla = new GGBApplet({filename: "../geogebra/traslacion.ggb"}, true);
22    var simetri = new GGBApplet({filename: "../geogebra/reflexion.ggb"}, true);
23	var desli = new GGBApplet({filename: "../geogebra/desliza.ggb"}, true);
24    window.onload = function() {
25        giros.inject('contegiros', 'preferHTML5');
26        trasla.inject('contetrasla', 'preferHTML5');
27		simetri.inject('contesime', 'preferHTML5');
28        desli.inject('contedesli', 'preferHTML5');
29    }
30</script>
30
31<header>
32
33 <div align="center">
34 <img src="intro.gif" border="0">
35</div>
36 <p id="aviso">En este sitio se usan animaciones de Geogebra y, aunque he intentado colocar imáganes alternativas, para conseguir una experiencia visual completa es conveniente que puedas ejercutar el complemento de <a href="http://www.java.com/es/download/" target="_blank"> Java</a> en tu navegador.</p>
37</header>
38 <p>&nbsp;</p>
39 <!-- Start css3menu.com BODY section -->
40<input type="checkbox" id="css3menu-switcher" class="c3m-switch-input">
41<ul id="css3menu1" class="topmenu">
42	<li class="switch"><label onClick="" for="css3menu-switcher"></label></li>
43	<li class="topfirst"><a href="index1.html" target="_blank" style="height:18px;line-height:18px;">Definiciones</a></li>
44	<li class="topmenu"><a href="index3.htm" target="_blank" style="height:18px;line-height:18px;">Grupos de simetría</a></li>
45	<li class="topmenu"><a href="losebasi.htm" target="_blank" style="height:18px;line-height:18px;">Loseta básica</a></li>
46	<li class="topmenu"><a href="mosaregu.htm" target="_blank" style="height:18px;line-height:18px;">Mosaicos regulares</a></li>
47	<li class="topmenu"><a href="mosasemi.htm" target="_blank" style="height:18px;line-height:18px;">Mosaicos semirregulares</a></li>
48	<li class="topmenu"><a href="mosairre.htm" target="_blank" style="height:18px;line-height:18px;">Mosaicos irregulares</a></li>
49	<li class="topmenu"><a href="mosauni.htm" target="_blank" style="height:18px;line-height:18px;">Mosaicos uniformes</a></li>
50	<li class="topmenu"><a href="mosadual.htm" target="_blank" style="height:18px;line-height:18px;">Mosaicos duales</a></li>
51	<li class="topmenu"><a href="mosaradi.htm" target="_blank" style="height:18px;line-height:18px;">Mosaicos radiales</a></li>
52	<li class="topmenu"><a href="mosaespi.htm" target="_blank" style="height:18px;line-height:18px;">Mosaicos espirales</a></li>
53	<li class="topmenu"><a href="mosaderiva.htm" target="_blank" style="height:18px;line-height:18px;">Mosaicos derivados</a></li>
54	<li class="topmenu"><a href="mosaaperi.htm" target="_blank" style="height:18px;line-height:18px;">Mosaicos aperiódicos</a></li>
55	<li class="topmenu"><a href="mosa3D.htm" target="_blank" style="height:18px;line-height:18px;">Mosaicos "3D"</a></li>
56	<li class="topmenu"><a href="celosiin.htm" target="_blank" style="height:18px;line-height:18px;">Celosías</a></li>
57	<li class="topmenu"><a href="indicemosa.html" target="_blank" style="height:18px;line-height:18px;">Índice del sitio</a></li>
58	
59</ul>
60<!-- End css3menu.com BODY section -->
61 <article>
62<h1>Los 17 grupos de simetría</h1>
63<p>Consideremos un conjunto de puntos del plano, al que llamaremos figura <em><strong>F</strong></em>, los puntos pueden ser, por ejemplo, los  pertenecientes a un tri&aacute;ngulo o cualquier otro pol&iacute;gono, si bien el conjunto de puntos puede ser tan complicado como podamos imaginar. Llamaremos grupo de simetr&iacute;a de la figura <em><strong>F</strong></em> al conjunto de movimientos del plano que dejan invariante la figura <em><strong>F</strong></em>.</p>
64<div id="clasi">
65<p >Una de las formas de recubrir o empapelar un plano es comenzar con un motivo simple y repetirlo seg&uacute;n ciertas reglas. Hay diecisiete formas de empapelar el plano, que fueron clasificadas y nominadas por la Uni&oacute;n Internacional de Cristalograf&iacute;a desde 1952 ya que la simetr&iacute;a tiene mucho que ver con la <a href="http://www.oswego.edu/%7Ebaloglou/103/seventeen.html" target="_blank">Cristalograf&iacute;a</a>. A continuaci&oacute;n se
66caracterizan y se presenta un ejemplo basado en dibujos (con motivos separados para facilitar su visualizaci&oacute;n) construidos con el programa <a href="http://www.scienceu.com/geometry/handson/kali/kali.html" target="_blank">Kali</a>. Haciendo clic sobre estos dise&ntilde;os se puede visualizar una animaci&oacute;n de cada una de los 17 grupos.</p>
67</div>
68<h2>Grupo primero (p1)</h2>
69<p>Es el grupo m&aacute;s sencillo. <strong>S&oacute;lo tiene traslaciones</strong>, no se dan rotaciones, reflexiones ni reflexiones con
70deslizamiento. Las celdas resultan ser sim&eacute;tricas respecto de dos ejes de traslaci&oacute;n, que no tienen por qu&eacute; ser perpendiculares. La celda o dominio base tiene forma de paralelogramo.</p>
71<div align="center"><a href="tramas/simeg1.htm" target="_blank"><img src="tramas/grupo1.jpg" alt="Animaci&oacute;n del grupo 1" border="0" height="393" width="589"></a></div>
72<h2>Grupo Segundo (p2)</h2>
73<p>Se diferencia del anterior en que, adem&aacute;s, puede contener rotaciones en 180&ordm;, ejes binarios. Los vectores de
74traslaci&oacute;n pueden formar &aacute;ngulos distintos de 90&ordm; y la rejilla es tambi&eacute;n un paralelogramo, siendo su celda fundamental la mitad de ese paralelogramo.</p>
75<div align="center">
76<a href="tramas/simeg2.htm" target="_blank"><img src="tramas/grupo2.jpg" alt="Clic para visualizar animaci&oacute;n ilustrativa" border="0" height="453" width="687"></a>
77</div>
78<h2>Grupo tercero (pm)</h2>
79<p>Es el primer grupo de simetr&iacute;aen que se da la reflexi&oacute;n. El eje de reflexi&oacute;n es paralelo a uno de los de
80traslaci&oacute;
80n y perpendicular al otro ( normalmente la traslaci&oacute;n vertical y la reflexi&oacute;n horizontal). La malla es rectangular y la celda base un rect&aacute;ngulo.</p>
81<div align="center">
82<a href="tramas/simeg3.htm" target="_blank"><img src="tramas/grupo3.jpg" alt="Clic para ver una animaci&oacute;n de las caracter&iacute;sticas de este grupo" border="0" height="382" width="673"></a>
83</div>
84<h2>Grupo cuarto (pg)</h2>
85<p>En este grupo ya aparece la simetr&iacute;a con deslizamiento, pero no se dan rotaciones ni reflexiones. La direcci&oacute;n de deslizamiento es paralela a la de traslaci&oacute;n y perpendicular a la de simetr&iacute;a. La rejilla es rectangular y la celda base la mitad de un rect&aacute;ngulo.</p>
86<div align="center">
87<a href="tramas/simeg4.htm" target="_blank"><img src="tramas/grupo4.jpg" alt="Clic para ver una animaci&oacute;n de la formaci&oacute;n de este grupo" border="0" height="391" width="759"></a>
88</div>
89<h2>Grupo quinto (cm)</h2>
90<p>Se dan en el reflexiones y reflexiones con deslizamiento pero no rotaciones. La direcci&oacute;n de deslizamiento puede formar cualquier &aacute;ngulo, pero el eje de reflexi&oacute;n debe ser bisectriz de los de deslizamiento. La rejilla es r&oacute;mbica y la celda fundamental es la mitad del rombo.</p>
91<div align="center">
92 <a href="tramas/simeg5.htm" target="_blank"> <img src="tramas/grupo5.jpg" alt="Conecta con una animaci&oacute;n en que se visualizan la formaci&oacute;n de este grupo de simetr&iacute;a" border="0" height="462" width="792"></a>
93 </div>
94<h2>Grupo sexto (pmm)</h2>
95<p>Este grupo se forma con dos reflexiones de ejes de simetr&iacute;a perpendiculares. No se dan rotaciones ni reflexi&oacute;n con deslizamiento. La rejilla es rectangular, que puede tomarse como base para construir el mosaico a base se traslaciones y la celda base la mitad del rect&aacute;ngulo.</p>
96<div align="center">
97<a href="tramas/simeg6.htm" target="_blank"><img src="tramas/grupo6.jpg" alt="Visualiza una animaci&oacute;n de la formaci&oacute;n del mosaico de este grupo" border="0" height="462" width="792"></a>
98</div>
99<h2>Grupo s&eacute;ptimo (pmg)</h2>
100<p>Los mosaicos que pertenecen a este grupo se forman mediante reflexiones y rotaciones de 180&ordm; (ejesbinarios). El centro de rotaci&oacute;n es el punto medio del lado que <strong>no</strong> es el eje de reflexi&oacute;n. La rejilla es rectangular y la celda base la mitad del rect&aacute;ngulo.</p>
101<div align="center">
102<a href="tramas/simeg7.htm" target="_blank"><img src="tramas/grupo7.jpg" alt="Clic para visualizar la animaci&oacute;n" border="0" height="389" width="663"></a>
103</div>
104<h2>Grupo octavo (pgg)</h2>
105<p>En este grupo se dan dos reflexiones con deslizamiento y un giro de 180&ordm;. Los dos ejes de reflexi&oacute;n son perpendiculares y el centro de giro es el punto medio del rect&aacute;ngulo que forma la rejilla. La celda unidad la constituye el rect&aacute;ngulo.</p>
106<div align="center">
107<a href="tramas/simeg8.htm" target="_blank"><img src="tramas/grupo8.jpg" alt="Clic para visualizar animaci&oacute;n" border="0" height="381" width="760"></a>
108</div>
109<h2>Grupo noveno (cmm)</h2>
110<p>Este grupo tiene dos reflexiones de ejes perpendiculares ( vertical y horizontal) y un giro de 180&ordm; con centro
111en el punto medio del otro lado. La rejilla es r&oacute;mbica y la celda base es la cuarta parte del rombo.</p>
112<div align="center">
113<a href="tramas/simeg9.htm" target="_blank"><img src="tramas/grupo9.jpg" alt="Clic para visualizar animaci&oacute;n" border="0" height="462" width="792"></a>
114</div>
115<h2>Grupo d&eacute;cimo (p4)</h2>
116<p>Este es el primer grupo en el que se da el giro de 90&ordm; ( una rotaci&oacute;n de orden 4) pero tambi&eacute;n se dan giros de 180&ordm; ( orden 2). No hay reflexiones. La rejilla es cuadrada y el dominio fundamental o celda base es la cuarta parte del cuadrado.</p>
117<div align="center">
118<a href="tramas/simeg10.htm" target="_blank"><img src="tramas/grupo10.jpg" alt="Clic para ver animaci&oacute;n de formaci&oacute;n" border="0" height="386" width="758"></a>
119</div>
120<h2>Grupo und&eacute;cimo (p4m)</h2>
121<p>Se diferencia del anterior en que tambi&eacute;n tiene reflexiones adem&aacute;s de giros de 90&ordm; y 180&ordm;. Los ejes de
122simetr&iacute;a forman &aacute;ngulos de 45&ordm; entre si y se cortan en el centro de giro de 90&ordm;. La trama es cuadrada y la celda b&aacute;sica o dominio fundamental es el tri&aacute;ngulo mitad del cuadrado.</p>
123<div align="center">
124<a href="tramas/simeg11.htm" target="_blank"><img src="tramas/grupo11.jpg" alt="Clic para visualizar la animaci&oacute;n" border="0" height="395" width="767"></a>
125</div>
126<h2>Grupo duod&eacute;cimo (p4g)</h2>
127<p>Tambi&eacute;n tiene reflexiones adem&aacute;s de giros de 90&ordm;, pero los ejes de simetr&iacute;a son perpendiculares y no pasan por los centros de giro. La trama es cuadrada y la celda b&aacute;sica o dominio fundamental es el tri&aacute;ngulo cuarta parte del cuadrado.</p>
128<div align="center"><a href="tramas/simeg12.htm" target="_blank"><img src="tramas/grupo12.jpg" alt="Clic para animaci&oacute;n" border="0" height="462" width="792"></a>
129</div>
130<h2>Grupo decimotercero (p3)</h2>
131<p >Es el grupo m&aacute;s sencillo con giros de 120&ordm; (tercer orden) y el primero en que la rejilla es hexagonal.</p>
132<div align="center"><a href="tramas/simeg13.htm" target="_blank"><img src="tramas/grupo13.jpg" alt="Clic para ver una animaci&oacute;n de este grupo de isometr&iacute;as" border="0" height="462" width="792"></a>
133</div>
134<h2>Grupo decimocuarto (p31m)</h2>
135<p>Este grupo contiene giros de 120&ordm; y simetr&iacute;as respecto de ejes que forman 60&ordm;, unos pasan por los centros
136de rotaci&oacute;
136n y otros no. La malla o rejilla es tambi&eacute;n hexagonal. La celda base es es el cuadril&aacute;tero conocido como "cometa".</p>
137<div align="center">
138<a href="tramas/simeg14.htm" target="_blank"><img src="tramas/grupo14.jpg" alt="Haga clic para visualizar una animaci&oacute;n." border="0" height="462" width="792"></a>
139</div>
140<h2>Grupo decimoquinto (p3m1)</h2>
141<p>Se diferencia del anterior en que todos los centros de rotaci&oacute;n caen en los ejes de simetr&iacute;a. Tiene giros de
142120&ordm;. La malla es tambi&eacute;n hexagonal pero el dominio fundamental o celda base es un tri&aacute;ngulo obtus&aacute;ngulo.</p>
143<div align="center">
144<a href="tramas/simeg15.htm" target="_blank"><img src="tramas/grupo15.jpg" alt="Clic para visualizar una animaci&oacute;n." border="0" height="462" width="792"></a>
145</div>
146<h2>Grupo decimosexto (p6)</h2>
147<p>En este grupo cristalogr&aacute;fico se dan rotaciones de 60&ordm; (orden 6). Tambi&eacute;n contiene giros de &oacute;rdenes 2 y 3, pero no reflexiones. Su malla&nbsp; y su celda base son hexagonales.</p>
148<div align="center">
149<a href="tramas/simeg16.htm" target="_blank"><img src="tramas/grupo16.jpg" alt="Clic para ver animaci&oacute;n." border="0" height="462" width="792"></a>
150</div>
151<h2>Grupo decimos&eacute;ptimo (p6m)</h2>
152<p>Contiene giros de 180&ordm;, 120&ordm; y 60&ordm; adem&aacute;s de reflexiones que pasan por todos los centros de giro. En los
153centro de orden 6 se cortan seis ejes de simetr&iacute;a formando &aacute;ngulos de 30&ordm;. La rejilla y celda base son&nbsp; hexagonales.</p>
154<div align="center">
155<a href="tramas/simeg17.htm" target="_blank"><img src="tramas/grupo17.jpg" alt="Clic para ver la animaci&oacute;n" border="0" height="462" width="758"></a>
156</div>
157
158
159<p>A modo de resumen y con la intenci&oacute;n de que sirva para identificar cada grupo de simetr&iacute;a mostramos una posible clasificaci&oacute;n:</p>
160<div class="contenedorE">
161<table border="1" align="center" cellpadding="2" cellspacing="2">
162  <tbody>
163    <tr>
164      <td colspan="1" rowspan="2" style="background-color: rgb(34, 212, 110);">&Aacute;ngulo de rotaci&oacute;n menor</td>
165<td colspan="5" rowspan="1" style="background-color: rgb(218, 207, 138);">&iquest;Tienes ejes de reflexi&oacute;n o de simetr&iacute;a?</td>
166 </tr>
167 <tr>
168 <td colspan="3" rowspan="1" style="background-color: rgb(218, 207, 138);">S&iacute; </td>
169<td colspan="2" rowspan="1" style="background-color: rgb(218, 207, 138);">No</td>
170    </tr>
171    <tr>
172      <td colspan="1" rowspan="3" style="background-color: rgb(255, 153, 255);">Sin rotaciones</td>
173      <td colspan="3" rowspan="1" style="background-color: rgb(255, 153, 255);">&iquest;Los ejes de reflexi&oacute;n y la direcci&oacute;n de deslizamiento s&oacute;n paralelos?</td>
174<td colspan="2" rowspan="1" style="background-color: rgb(255, 153, 255);">&iquest;Tiene reflexi&oacute;n con deslizamiento?</td>
175   </tr>
176    <tr>
177<td colspan="2" rowspan="1" style="background-color: rgb(255, 153, 255);">S&iacute;&nbsp;</td>
178     <td style="background-color: rgb(255, 153, 255);">No</td>
179      <td style="background-color: rgb(255, 153, 255); ">S&iacute;</td>
180      <td style="background-color: rgb(255, 153, 255); ">No</td>
181    </tr>
182    <tr>
183 <td colspan="2" rowspan="1" style="background-color: rgb(255, 153, 255);"><a href="tramas/simeg3.htm" target="_blank">pm</a></td>
184<td style="background-color: rgb(255, 153, 255);"><a href="tramas/simeg5.htm" target="_blank">cm</a></td>
185<td style="background-color: rgb(255, 153, 255);"><a href="tramas/simeg4.htm" target="_blank">pg</a></td>
186<td style="background-color: rgb(255, 153, 255);"><a href="tramas/simeg1.htm" target="_blank">p1</a></td>
187   </tr>
188   <tr>
189<td colspan="1" rowspan="5" style="background-color: rgb(150, 188, 215);">360&ordm;/2 = 180&ordm;</td>
190
191<td colspan="3" rowspan="1" style="background-color: rgb(150, 188, 215);">&iquest;Ejes de reflexi&oacute;n &nbsp;perpendiculares?</td>
192<td colspan="2" rowspan="1" style="background-color: rgb(150, 188, 215); ">&iquest;Tiene reflexi&oacute;n con deslizamiento?</td>
193 </tr>
194    <tr>
195<td colspan="2" rowspan="1" style="background-color: rgb(150, 188, 215);">S&iacute;</td>
196<td style="background-color: rgb(150, 188, 215);">No</td>
197<td style="background-color: rgb(150, 188, 215);">S&iacute;</td>
198<td style="background-color: rgb(150, 188, 215);">No</td>
199</tr>
200<tr>
201<td colspan="2" rowspan="1" style="background-color: rgb(150, 188, 215);">&iquest;Pasan por el centro de la figura?</td>
202<td colspan="1" rowspan="2" style="background-color: rgb(150, 188, 215);"></td>
203<td colspan="1" rowspan="2" style="background-color: rgb(150, 188, 215);"></td>
204<td colspan="1" rowspan="2" style="background-color: rgb(150, 188, 215);"></td>
205 </tr>
206 <tr>
207 <td style="background-color: rgb(150, 188, 215); ">S&iacute;</td>
208<td style="background-color: rgb(150, 188, 215);">No</td>
209 </tr>
210<tr>
211<td style="background-color: rgb(150, 188, 215);"><a target="_blank" href="tramas/simeg6.htm">pmm</a></td>
212<td style="background-color: rgb(150, 188, 215);"><a href="tramas/simeg9.htm" target="_blank">cmm</a></td>
213<td style="background-color: rgb(150, 188, 215);"><a href="tramas/simeg7.htm" target="_blank">pmg</a></td>
214<td style="background-color: rgb(150, 188, 215);"><a href="tramas/simeg8.htm" target="_blank">pgg</a></td>
215<td style="background-color: rgb(150, 188, 215);"><a href="tramas/simeg2.htm" target="_blank">p2</a></td>
216 </tr>
217<tr>
218<td colspan="1" rowspan="3" style="background-color: rgb(130, 248, 170);">360&ordm;/3 = 120&ordm;</td>
219<td colspan="3" rowspan="1" style="background-color: rgb(130, 248, 170);">&iquest;Los ejes de simetr&iacute;a pasan por en centro?</td>
220<td colspan="2" rowspan="2" style="background-color: rgb(130, 248, 170);"></td>
221</tr>
222<tr>
223<td colspan="2" rowspan="1" style="background-color: rgb(130, 248, 170);">S&iacute;</td>
224<td style="background-color: rgb(130, 248, 170);">No</td>
225</tr>
226<tr>
227<td colspan="2" rowspan="1" style="background-color: rgb(130, 248, 170);"><a href="tramas/simeg15.htm" target="_blank">p3m1</a></td>
228<td style="background-color: rgb(130, 248, 170);"><a href="tramas/simeg14.htm" target="_blank">p31m</a></td>
229<td colspan="2" rowspan="1" style="background-color: rgb(130, 248, 170);"><a href="tramas/simeg13.htm" target="_blank">p3</a></td>
230</tr>
231 <tr>
232<td colspan="1" rowspan="3" style="background-color: rgb(255, 255, 153);">360&ordm;/4 = 90&ordm;</td>
233<td colspan="3" rowspan="1" style="background-color: rgb(255, 255, 153);">&iquest;Ejes de simetr&iacute;a a 45&ordm;?</td>
234<td colspan="2" rowspan="1" style="background-color: rgb(255, 255, 153);"></td>
235</tr>
236<tr>
237<td colspan="2" rowspan="1" style="background-color: rgb(255, 255, 153);">S&iacute;</td>
238<td style="background-color: rgb(255, 255, 153);">No</td>
239<td colspan="2" rowspan="1" style="background-color: rgb(255, 255, 153);"></td>
240</tr>
241<tr>
242<td colspan="2" rowspan="1" style="background-color: rgb(255, 255, 153);"><a href="tramas/simeg11.htm" target="_blank">p4m</a></td>
243<td style="background-color: rgb(255, 255, 153);"><a href="tramas/simeg12.htm" target="_blank">p4g</a></td>
244<td colspan="2" rowspan="1" style="background-color: rgb(255, 255, 153);"><a href="tramas/simeg10.htm" target="_blank">p4</a></td>
245</tr>
246<tr>
247<td style="background-color: rgb(255, 255, 153);">360&ordm;/6 = 60&ordm;</td>
248<td colspan="3" rowspan="1" style="background-color: rgb(255, 255, 153);"><a href="tramas/simeg17.htm" target="_blank">p6m</a></td>
249<td colspan="2" rowspan="1" style="background-color: rgb(255, 255, 153);"><a href="tramas/simeg16.htm" target="_blank">p6</a></td>
250</tr>
251</tbody>
252</table>
253</div>
254<p>Antes de terminar esta peque&ntilde;a introducci&oacute;n, imprime <a href="apendi/hojatra1.htm" target="_blank">esta hoja
255de trabajo</a> y entr&eacute;gala al profesor/a. </p>
256
257<p>Aunque los colores se han usado con fines memramente est&eacute;ticos, un estudio que puede ser interesante y productivo es el uso del color en los grupos de simetr&iacute;a. M&aacute;s abajo se reproduce una tabla* en que se relaciona, para cada grupo de simetr&iacute;a, el <b>n&uacute;mero de mosaicos o configuraciones diferentes</b> que pueden obtenerse, dependiendo del n&uacute;mero de colores que utilicemos ( hasta un m&aacute;ximo de 8), por si alguien desea realizar una comprobaci&oacute;n exhaustiva :</p>
258
259<div class="contenedorA">
260 <table border="1" align="center">
261    <tbody>
262    <tr>
263      <td align="center" bgcolor="#fecbfe">N&ordm; de grupo</td>
264      <td colspan="7" align="center" bgcolor="#b7c8cc">N&ordm; de colores utilizados</td>
265    </tr>
266    <tr>
267      <td align="center" bgcolor="#fecbfe">&nbsp;</td>
268      <td align="center" bgcolor="#b7c8cc"><b>2</b></td>
269      <td align="center" bgcolor="#b7c8cc"><b>3</b></td>
270      <td align="center" bgcolor="#b7c8cc"><b>4</b></td>
271      <td align="center" bgcolor="#b7c8cc"><b>5</b></td>
272      <td align="center" bgcolor="#b7c8cc"><b>6</b></td>
273      <td align="center" bgcolor="#b7c8cc"><b>7</b></td>
274      <td align="center" bgcolor="#b7c8cc"><b>8</b></td>
275    </tr>
276    <tr>
277      <td align="center" bgcolor="#fecbfe"><b>1</b></td>
278      <td align="center">1</td>
279      <td align="center">1</td>
280      <td align="center">2</td>
281      <td align="center">1</td>
282      <td align="center">1</td>
283      <td align="center">1</td>
284      <td align="center">2</td>
285    </tr>
286    <tr>
287      <td align="center" bgcolor="#fecbfe"><b>2</b></td>
288      <td align="center">2</td>
289      <td align="center">1</td>
290      <td align="center">3</td>
291      <td align="center">1</td>
292      <td align="center">2</td>
293      <td align="center">1</td>
294      <td align="center">4</td>
295    </tr>
296    <tr>
297      <td align="center" bgcolor="#fecbfe"><b>3</b></td>
298      <td align="center">5</td>
299      <td align="center">2</td>
300      <td align="center">10</td>
301      <td align="center">2</td>
302      <td align="center">11</td>
303      <td align="center">2</td>
304      <td align="center">16</td>
305    </tr>
306    <tr>
307      <td align="center" bgcolor="#fecbfe"><b>
3074</b></td>
308      <td align="center">5</td>
309      <td align="center">1</td>
310      <td align="center">13</td>
311      <td align="center">1</td>
312      <td align="center">9</td>
313      <td align="center">1</td>
314      <td align="center">21</td>
315    </tr>
316    <tr>
317      <td align="center" bgcolor="#fecbfe"><b>5</b></td>
318      <td align="center">2</td>
319      <td align="center">2</td>
320      <td align="center">4</td>
321      <td align="center">2</td>
322      <td align="center">5</td>
323      <td align="center">2</td>
324      <td align="center">7</td>
325    </tr>
326    <tr>
327      <td align="center" bgcolor="#fecbfe"><b>6</b></td>
328      <td align="center">2</td>
329      <td align="center">1</td>
330      <td align="center">11</td>
331      <td align="center">2</td>
332      <td align="center">11</td>
333      <td align="center">2</td>
334      <td align="center">19</td>
335    </tr>
336    <tr>
337      <td align="center" bgcolor="#fecbfe"><b>7</b></td>
338      <td align="center">5</td>
339      <td align="center">2</td>
340      <td align="center">11</td>
341      <td align="center">2</td>
342      <td align="center">11</td>
343      <td align="center">2</td>
344      <td align="center">19</td>
345    </tr>
346    <tr>
347      <td align="center" bgcolor="#fecbfe"><b>8</b></td>
348      <td align="center">3</td>
349      <td align="center">2</td>
350      <td align="center">7</td>
351      <td align="center">2</td>
352	  <td align="center">7</td>
353      <td align="center">2</td>
354      <td align="center">13</td>
355    </tr>
356    <tr>
357      <td align="center" bgcolor="#fecbfe"><b>9</b></td>
358      <td align="center">5</td>
359      <td align="center">1</td>
360      <td align="center">11</td>
361      <td align="center">1</td>
362      <td align="center">8</td>
363      <td align="center">1</td>
364      <td align="center">21</td>
365    </tr>
366    <tr>
367      <td align="center" bgcolor="#fecbfe"><b>10</b></td>
368      <td align="center">2</td>
369      <td align="center">0</td>
370      <td align="center">5</td>
371      <td align="center">1</td>
372      <td align="center">2</td>
373      <td align="center">0</td>
374      <td align="center">9</td>
375    </tr>
376    <tr>
377      <td align="center" bgcolor="#fecbfe"><b>11</b></td>
378      <td align="center">5</td>
379      <td align="center">0</td>
380      <td align="center">13</td>
381      <td align="center">0</td>
382      <td align="center">2</td>
383      <td align="center">0</td>
384      <td align="center">28</td>
385    </tr>
386    <tr>
387      <td align="center" bgcolor="#fecbfe"><b>12</b></td>
388      <td align="center">3</td>
389      <td align="center">0</td>
390      <td align="center">7</td>
391      <td align="center">0</td>
392      <td align="center">2</td>
393      <td align="center">0</td>
394      <td align="center">13</td>
395    </tr>
396    <tr>
397      <td align="center" bgcolor="#fecbfe"><b>13</b></td>
398      <td align="center">0</td>
399      <td align="center">2</td>
400      <td align="center">1</td>
401      <td align="center">0</td>
402      <td align="center">1</td>
403      <td align="center">1</td>
404      <td align="center">0</td>
405    </tr>
406    <tr>
407      <td align="center" bgcolor="#fecbfe"><b>14</b></td>
408      <td align="center">1</td>
409      <td align="center">2</td>
410      <td align="center">1</td>
411      <td align="center">0</td>
412      <td align="center">4</td>
413      <td align="center">0</td>
414      <td align="center">1</td>
415    </tr>
416    <tr>
417      <td align="center" bgcolor="#fecbfe"><b>15</b></td>
418      <td align="center">1</td>
419      <td align="center">2</td>
420      <td align="center">1</td>
421      <td align="center">0</td>
422      <td align="center">5</td>
423      <td align="center">0</td>
424      <td align="center">1</td>
425    </tr>
426    <tr>
427      <td align="center" bgcolor="#fecbfe"><b>16</b></td>
428      <td align="center">1</td>
429      <td align="center">2</td>
430      <td align="center">1</td>
431      <td align="center">0</td>
432      <td align="center">5</td>
433      <td align="center">1</td>
434      <td align="center">1</td>
435    </tr>
436    <tr>
437      <td align="center" bgcolor="#fecbfe"><b>17</b></td>
438      <td align="center">3</td>
439      <td align="center">2</td>
440      <td align="center">2</td>
441      <td align="center">0</td>
442      <td align="center">11</td>
443      <td align="center">0</td>
444      <td align="center">3</td>
445    </tr>
446    <tr>
447      <td align="center" bgcolor="#e9cc96"><b>Total</b></td>
448      <td align="center" bgcolor="#e9cc96"><b>46</b></td>
449      <td align="center" bgcolor="#e9cc96"><b>23</b></td>
450      <td align="center" bgcolor="#e9cc96"><b>96</b></td>
451      <td align="center" bgcolor="#e9cc96"><b>14</b></td>
452      <td align="center" bgcolor="#e9cc96"><b>90</b></td>
453      <td align="center" bgcolor="#e9cc96"><b>15</b></td>
454      <td align="center" bgcolor="#e9cc96"><b>166</b></td>
455    </tr>
456  </tbody>
457</table>
458</div>
459
460<p class="citas">&nbsp;*Los datos de esta tabla fueron originalmente publicados por T.W. Wieting en "La teor&iacute;a matem&aacute;tica del plano crom&aacute;tico", Marcel Dekker ( 1981). La tabla fue despu&eacute;s ampliada en la obra "Mosaicos y patrones"&nbsp; de Gr&uuml;mbaum y Shephard y yo la he copiado de <a href="http://www2.spsu.edu/math/tile/color/number.htm" target="_blank">esta p&aacute;gina</a>.</p>
461
462</article>
463
464<footer>
465<p id="titpie">Mosaicos y celosías</p>
466
467	<p class="menupie"><a href="index1.html" target="_blank" >Definiciones</a></p>
468	<p class="menupie"><a href="index3.htm" target="_blank" >Grupos de simetría</a></p>
469	<p class="menupie"><a href="losebasi.htm" target="_blank">Loseta básica</a></p>
470	<p class="menupie"><a href="mosaregu.htm" target="_blank">Mosaicos regulares</a></p>
471	<p class="menupie"><a href="mosasemi.htm" target="_blank" >Mosaicos semirregulares</a></p>
472	<p class="menupie"><a href="mosairre.htm" target="_blank">Mosaicos irregulares</a></p>
473	<p class="menupie"><a href="mosauni.htm" target="_blank" >Mosaicos uniformes</a></p>
474	<p class="menupie"><a href="mosadual.htm" target="_blank">Mosaicos duales   </a></p>
475	<p class="menupie"><a href="mosaradi.htm" target="_blank">Mosaicos radiales</a></p>
476	<p class="menupie"><a href="mosaespi.htm" target="_blank">Mosaicos espirales</a></p>
477	<p class="menupie"><a href="mosaderiva.htm" target="_blank">Mosaicos derivados</a></p>
478	<p class="menupie"><a href="mosaaperi.htm" target="_blank">Mosaicos aperiódicos</a></p>
479	<p class="menupie"><a href="mosa3D.htm" target="_blank">Mosaicos "3D"   </a></p>
480	<p class="menupie"><a href="celosiin.htm" target="_blank">Celosías</a></p>
481	<p class="menupie"><a href="indicemosa.html" target="_blank">Índice del sitio</a></p>
482
483<div id="imapie">
484<img src="imalterna/logo.jpg" alt="Logo " width="100" height="100" title="Logo de la página de Mosaicos y celosías"
485></div>
486<div id="contador">
487 <!-- Histats.com  START  (standard)-->
488<script type="text/javascript">document.write(unescape("%3Cscript src=%27https://s10.histats.com/js15.js%27 type=%27text/javascript%27%3E%3C/script%3E"));</script>
488
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492</a>
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495</div>
496</footer>
497
498</body>
499</html>

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